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微分方程通解的三种形式

实习编辑 • 2023-11-22 10:58:20 • 用户投稿 • 阅读 3

1、由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=c1cos2x+c2sin2x-xsin2x。2、通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=c1y1(x)+c2y2(x)是通解的话y=c1y1(x)+c2y2(x)+y1也是通解，但y=c1y1就是特解。

微分方程通解三种形式

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=c1cos2x+c2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关；

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=c1y1(x)+c2y2(x)是通解的话y=c1y1(x)+c2y2(x)+y1也是通解，但y=c1y1就是特解。

微分方程通解的三种形式

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解

特征方程为2r²+r-1=0

(2r-1)(r+1)=0

r=1/2或r=-1

故通解为y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=ae^x

则y*'=y*''=ae^x

代入原方程得，2ae^x=2e^x

a=1

故y*=e^x

所以原方程的通解为y=y+y*

即y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)+e^x

微分方程介绍

微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人newton和leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

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